Question

判断函数y=lg（x+x2+1）的奇偶性

判断函数y=lg（x+x2+1）的奇偶性？

Answer 1

如果f(x)+f(-x)=0那么它是奇函数,如果f(x)-f(-x)=0,那么它是偶函数。

f(x)=lg(x+√ (x^2+1)) f(-x)=lg(-x+√ (x^2+1))
f(x)+f(-x)=lg(x+√ (x^2+1)) +lg(-x+√ (x^2+1))=lg(x+√ (x^2+1)) (-x+√ (x^2+1))=lg(x^2-x^2+1)=lg1=0
所以这个函数是奇函数。

①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。

Answer 2

由x+

x2+1

＞0，解得x∈R
又∵f（-x）=lg（

x2+1

-x）=lg（

1

x2+1 +x

）=-lg（x+

x2+1

）=-f（x）
∴函数是奇函数．

Answer 3

定义域。
(1＋x)/(1－x)>0
得：－1<x<1
关于原点对称。
2、f(－x)=lg[(1－x)/(1＋x)]
则：f(x)＋f(－x)=lg[(1＋x)/(1－x)]＋lg[(1－x)/(1＋x)]=lg1=0
即：f(－x)=－f(x)
所以这个函数是奇函数。