Question

（2012?泰安）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交A

（2012?泰安）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；

（2）△ABH∽△ECM．
证明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠ECM，
由（1）知，∠BAH=∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；

（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，
∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=

1

2

，∠AEB=45°，
∴∠MER=45°，CR=2MR，
∴MR=ER=

1

3

EC=

1

3

×2=

2

3

，
∴在Rt△EMR中，EM=

MR

sin45°

=

2 2

3

．