Question

如图1，四边形ABCD、DEFG都是正方形，且C、D、E在同一条直线上，连接AE、CG．（1）猜想AE与CG的数量关系

如图1，四边形ABCD、DEFG都是正方形，且C、D、E在同一条直线上，连接AE、CG．（1）猜想AE与CG的数量关系和位置关系，并给予说明．（2）把正方形ABCD绕点D旋转到如图2所示的位置，上述结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）AE=CG，AE⊥CG．
理由如下：∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
∵在△ADE和△CDG中，

AD＝CD ∠ADC＝∠GDE DE＝DG

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠CGD=∠AED，
延长AE交CG于M，
∵∠CGD+∠DCG=90°，
∴∠AED+∠DCG=90°，
∴∠EMC=180°-（∠AED+∠DCG）=180°-90°=90°，
∴AE⊥CG；

（2）结论还成立．
理由如下：∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC-∠ADG=∠GDE-∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
∵在△ADE和△CDG中，

AD＝CD ∠ADE＝∠CDG DE＝DG

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠CGD=∠AED，
延长AE交CG于M，延长GC交ED的延长线于N，
∵∠CGD+∠N=90°，
∴∠AED+∠N=90°，
∴∠EMN=180°-（∠AED+∠N）=180°-90°=90°，
∴AE⊥CG．