Question

已知函数f(x)=xlnx-(x-1)(ax-a+1) a∈R 1.若a=0,判断函数f

已知函数f(x)=xlnx-(x-1)(ax-a+1) a∈R
1.若a=0,判断函数f(x)的单调性；
2.若x＞1时，f(x)＜0恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

望采纳，谢谢！
（Ⅰ）若a=0,f（x）=xlnx-x+1,f′（x）=lnx,x∈（0,1）,f′（x）＜0,f（x）为减函数,
x∈（1,+∞）,f′（x）＞0,f（x）为增函数．
（Ⅱ）f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）＜0,在（1,+∞）恒成立．
①若a=0,f（x）=xlnx-x+1,f′（x）=lnx,x∈（1,+∞）,f′（x）＞0,
∴f（x）为增函数．
∴f（x）＞f（1）=0,
即f（x）＜0不成立；∴a=0不成立．
②∵x＞1,lnx−(x−1)(ax−a+1)
x＜0,在（1,+∞）恒成立,
不妨设h(x)＝lnx−(x−1)(ax−a+1)/x
,x∈（1,+∞）
h′(x)＝（−ax2−x−a+1）/x2
＝−(x−1)(ax+a−1)/x2
,x∈（1,+∞）
h′(x)＝0,x1＝1,x2＝1−a/a,
若a＜0,则x2＝1−a/a
＜1,x＞1,h′（x）＞0,h（x）为增函数,h（x）＞h（1）=0（不合题意）；
若0＜a＜1/2,x∈(1,1−a/a),h′（x）＞0,h（x）为增函数,h（x）＞h（1）=0（不合题意）；
若a≥1/2
,x∈（1,+∞）,h′（x）＜0,h（x）为减函数,h（x）＜h（1）=0（符合题意）．
综上所述若x＞1时,f（x）＜0恒成立,则a≥1/2

追问

请问第二小题第二部分怎么理解？

Answer 2

1） 采用对函数求导数的办法证明单调性

y‘=lnx
x≥1时，y’＞0，递增
1＞x＞0时，y‘＜0，递减

追问

谢谢，第二小题呢？

Answer 3

高中的东东忘记了。

追问

求助啊亲╭(╯3╰)╮

追答

不记得了😅