Question

用高斯公式计算三重积分∫∫∫（xy+yz+zx）dxdydz,其中V是由x≥0,y≥0,z≥0,x

用高斯公式计算三重积分∫∫∫（xy+yz+zx）dxdydz,其中V是由x≥0,y≥0,z≥0,x²+y²≤1所确定的空间区域

Answer 1

解析如下：

令P=xy²,Q=yz²,R=zx²。

∵αP/αx=y²,αQ/αy=z²,αR/αz=x²。

∴由高斯公式,得原式=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz。

=∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz。

=∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,R>r²*r²sinφdr。

=(2π-0)(1-0)(R^5/5-0)。

=2πR^5/5。

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ）。

作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

Answer 2

答案就是11/24  这就是正确解答   不会的问我

Answer 3

用高斯公式计算三重积分∫∫∫（xy+yz+zx）dxdydz,其中V是由x≥0,y≥0,z≥0,x²+y²≤1所确定的空间区域

Answer 4

步骤感觉有问题，不知道答案对不对

Answer 5

我也想问，z的平方为什么就不见了？