Question

cosx+cos2x+cos3x+……cosnx=?如何用复数的 方法解

设z=cosx+sinx i 原式可以化解为z+z^2+z^3.....+z^n 用等比求和得z(1-z^n)/(1-z) 把z=cosx+sinx i 代入 算出实部就是答案，但是我算了几次都和答案不一样 请问 把z=cosx+sinx i代入后怎么计算，最好 详细过程！谢谢

Answer 1

因为左边的和是实数，所以右边一定可以化为实数。在最后的化简，只需要提取exp(ix/2)和exp(inx/2)之类的就可以了。（个人喜好不同，会导致最后提取的是exp(-ix/2)和exp(-inx/2)）

Answer 2

原式乘以2sinx,
积化和差就变成了 sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+
sinnx-si(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x
=sin(n+1)x+sinnx-sinx
再除以2sinx,即为答案，[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
这种方法比较简单 用复数求解太麻烦了

Answer 3

e^(ix)=cosx+isinx
e^(ix)+e^(i2x)+e^(i3x)+……+e*(inx)=(cosx+cos2x+……+cosnx)+i(sinx+sin2x+……+sinnx)
=[e^(inx+ix) -e^(ix)]/[e^(ix)-1]；
将最后一个等号右端分成实部和虚部(分母和分子同乘以 (cosx-1)-isinx）,与等号左端实部和虚部对应相等即得cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=1/2|{sin(n+1/2)x-sin(2/x)}/sin(2/x)|

Answer 4

引用bd水人的回答：

因为左边的和是实数，所以右边一定可以化为实数。在最后的化简，只需要提取exp(ix/2)和exp(inx/2)之类的就可以了。（个人喜好不同，会导致最后提取的是exp(-ix/2)和exp(-inx/2)）

不是等差数列，是等比数列，其他都没啥问题，，，挺好的回答