Question

在数列{a(n)}中， a(1)=1,a(2)=2, a(n+2)-a(n)=1+(-1)^n,求

在数列{a(n)}中，
a(1)=1,a(2)=2,
a(n+2)-a(n)=1+(-1)^n,求S(100)

Answer 1

解：
∵在数列{a[n]}中，a[n+2]-a[n]=1+(-1)^n
∴当n为奇数时：a[n+2]-a[n]=0
当n为偶数时：a[n+2]-a[n]=2
∵a[1]=2，a[2]=2
∴在数列{a[n]}中：
其奇数项组成一个常数为2的常数子数列
其偶数项组成一个首项为2公差也为2的等差子数列
∵a[100]=a[2]+2*{[(100-2)/2+1]-1}=100
∴S[100]=(a[1]+a[3]+...+a[99])+(a[2]+a[4]+...+a[100])
=[(99-1)/2+1]a[1]+[(100-2)/2+1](a[2]+a[100])/2
=50*2+50(2+100)/2
=2650

Answer 2

解:设等比数列{an}的公比为q,则其和Sn,S2n,S3n之间有以下关系:

Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,公比为q^n.

证明:先证明一个更一般的通项公式.在等比数列中,

an=a1q^(n-1)

am=a1q^(m-1)

两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m).

S2n=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a2n

=Sn+(a1q^n+a2q^n+...+anq^n)=Sn+(a1+a2+...+an)q^n=Sn+Snq^n

∴(S2n-Sn)/Sn=q^n.

同理,S3n=S2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+...+a3n]

=S2n+[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+...+a2nq^n)

=S2n+[a(n+1)+a(n+2)+...+a2n]q^n

=S2n+[S2n-Sn}q^n.

∴(S3n-S2n)/(S2n-Sn)=q^n.

∴(S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n)/(S2n-Sn).即(S2n-Sn)^2=Sn(S3n-S2n).故证.

Answer 3

您好，a1=1
a2=2
a3-a1=1+(-1)^1=0 --->a3=a1=1
a4-a2=1+1=2 --->a4=2+a2=4
a5-a3=0 --->a5=a3=1
a6-a4=2 --->a6=2＋a4=6
可见此数列奇数项恒等于1,偶数项=n
所以S100=a1+a3+a5+...+a99+a2+a4+a6+...+a100
=50+(2+100)*50/2=50+2550 =2600

Answer 4

an=1,2,1,4,1,6
100项的和=50*1+50*(2+100)/2=2600

Answer 5

a(2k-1)=1
a(2k)=2k
S100=50+2550=2600