Question

离散数学问题，求大神解答

设 V = <S, ◦>是一个半群，则对任意的 a∈S, 令
<a> = {x | x = a^n, n > 0},
证明： <a>是一个子半群。 若 V 是一个独异点，怎样类似地定义一个子独异点。

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Answer 1

首先，<a>满足结合律是显然的（从V中继承的）
我们来证明<a>关于运算◦封闭

∀a∈S，∀aⁿ¹∈<a>，aⁿ² ∈<a>，其中n₁>0，n₂>0
aⁿ¹◦aⁿ² = aⁿ¹⁺ⁿ²
显然n₁+n₂>0，因此aⁿ¹⁺ⁿ²∈<a>
即aⁿ¹◦aⁿ²∈<a>
由任意性可知<a>关于运算◦封闭，从而<a>是V的子代数，是子半群。

若 V 是一个独异点，那么V含有么元，记作1，则V=<S，◦，1>是独异点。

子独异点<a>可以有很多种，但必须满足两点：1∈<a> 且 <a>是一个子半群

那么我们可以这样定义
对任意的 a∈S, 令
<a> = {x | x = aⁿ, n∈ℤ}
那么显然1=a⁰∈<a>，且<a>关于运算◦封闭（证明方法同上）
从而<<a>，◦，1>是子独异点

Answer 2

引用小乐笑了的回答：
首先，<a>满足结合律是显然的（从V中继承的）
我们来证明<a>关于运算◦封闭

∀a∈S，∀aⁿ¹∈<a>，aⁿ² ∈<a>，其中n₁>0，n₂>0
aⁿ¹◦aⁿ² = aⁿ¹⁺ⁿ²
显然n₁+n₂>0，因此aⁿ¹⁺ⁿ²∈<a>
即aⁿ¹◦aⁿ²∈<a>
由任意性可知<a>关于运算◦封闭，从而<a>是V的子代数，是子半群。

若 V 是一个独异点，那么V含有么元，记作1，则V=<S，◦，1>是独异点。

子独异点<a>可以有很多种，但必须满足两点：1∈<a> 且 <a>是一个子半群

那么我们可以这样定义
对任意的 a∈S, 令
<a> = {x | x = aⁿ, n∈ℤ}
那么显然1=a⁰∈<a>，且<a>关于运算◦封闭（证明方法同上）
从而<<a>，◦，1>是子独异点

圈运算怎么能默认为乘法运算呢？还有你一开始单位元是记做1，那后面怎么能直接把1拿来当数字用呢？