Question

设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) (A)A的列向量线性无

设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( )
(A)A的列向量线性无关
(B)A的列向量线性相关
(C)A的行向量线性无关
(D)A的行向量线性

Answer 1

当然是A的列向量线性无关这个选项，也就是A选项啦。
因为根据矩阵相乘的原则，AX的结果，就是A每一行的各个元素分别和X对应的每个元素相乘，然后相加。成为结果向量的对应元素。
所以A矩阵的列向量的每个元素都乘相同的x值（即A矩阵的每一列都是相同的未知数）
所以AX其实就是A的每个列向量分别乘以一个系数后，在相加。
现在AX=0只有0解，说明A的各个列向量各乘一个系数相加等于0向量，系数必须都是0，不存在系数不全为0的情况下，相加为0向量的情况。
这本身就是列向量线性无关的定义啊。
所以选A

Answer 2

当然是A的列向量线性无关这个选项，也就是A选项啦。
因为根据矩阵相乘的原则，AX的结果，就是A每一行的各个元素分别和X对应的每个元素相乘，然后相加。成为结果向量的对应元素。
所以A矩阵的列向量的每个元素都乘相同的x值（即A矩阵的每一列都是相同的未知数）
所以AX其实就是A的每个列向量分别乘以一个系数后，在相加。
现在AX=0只有0解，说明A的各个列向量各乘一个系数相加等于0向量，系数必须都是0，不存在系数不全为0的情况下，相加为0向量的情况。
这本身就是列向量线性无关的定义啊。
所以选A

Answer 3

你好！答案是(A)，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是r(A)=n，也就是A的n个列向量线性无关。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

追问

为什么C不可以，和A的区别是啥？

r(A)=n?不是应该取行或列中最小的一个，题目没有告诉你n.m两者的大小！！！

追答

r(A)=n就说明了m≥n，当m=n时C也可以，但m>n时C不成立。

追问

那m<n呢？

追答

m<n时不可能有r(A)=n

Answer 4

选A，简单分析一下即可

Answer 5