高等数学 设函数f(x) = x^2 - x∫(0, 2) f(x) dx + 2∫(0, 1) f(x) dx,求此函数f(x);
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关键是注意到对一个函数在某区间上定积分的结果是一个数(而不是函数),因此本题中可设∫f(x)dx(积分限0到1)=a,∫f(x)dx(积分限0到2)=b,于是f(x)=x^2-bx+2a。现在对上式两边求0到1的定积分,即∫f(x)dx=∫x^2dx-b∫xdx+2a∫dx,因此a=1/3-b/2+2a。即a-b/2=-1/3。同理再求0到2的定积分,有b=∫x^2dx-b∫xdx+2a∫dx,b=8/3-2b+4a,即4a-3b=-8/3。联立解得a=1/3,b=4/3,因此f(x)=x^2-4x/3+2/3。
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