Question

高数 多元函数 为什么偏导数连续是可微的充分不必要条件

Answer 1

为什么偏导数连续是可微的充分不必要条件：
1、偏导数连续是可微分充分条件，但不是必要条件。
2、比如下面这个函数f(x,y)，函数的表达式为当x,y均为有理数时f(x,y)=x^2+y^2；当x,y中有一个变量为无理数时f(x,y)=0。
3、考虑这个函数在（0,0）处的微分，显然⊿u=f(⊿x,⊿y)-f(0,0)=0*⊿x+0*⊿y+a，其中a的表达式为：当⊿x,⊿y都是有理数时，a=⊿x^2+⊿y^2；当⊿x,⊿y中有一个无理数时a=0。
4、所以a为√⊿x^2+⊿y^2的高阶无穷小，这也就说明了函数f(x,y)在（0,0）是可微的。
5、根据导数定义可以证明函数f在（0,0）处对于x和y的偏导数都等于0。
6、在除（0,0）以外的所有有理数组点的偏导数都是不存在的，因为当x,y为有理数，⊿x以无理数方向趋于0时，⊿f=f(x+⊿x,y)-f(x,y)=-x^2-y^2，所以⊿f/⊿x的极限不存在。
7、所以f在（0,0）的任意一个领域内导数不满足连续条件，但f可微，所以那只是充分而非必要条件。
8、可微必定连续且偏导数存在；连续未必偏导数存在，偏导数存在也未必连续；连续未必可微，偏导数存在也未必可微；偏导数连续是可微的充分不必要条件。

Answer 2

1、可导、可微的概念，并不是国际微积分的概念，
可导、可微的区别，仅仅只是中国式微积分概念；

2、在英文中，只有 differentiable 的概念，我们时而
翻译成可导，时而翻译成可微，没有一定之规；

3、类似的并且是紧密相关的概念有：
total differentiation ，我们时而译成全导数，时而译成全微分；
partial differentiation ，我们时而译成偏导数，时而译成偏微分；
、、、、、、、、类似的非驴非马的中文概念汗牛充栋，罄竹难书。
用中文写出的很多论文，已经完全无法再翻译成英文，歧途岔道，是注定的。
正因为无法纳入国际微积分概念，调侃国际微积分，自我安慰，就成了习惯。

4、在中国式的微积分概念中：
在所有方向上可以求导，也就是方向导数，就是可微；
可微一定可导，可导不一定可微。

偏导函数连续，按照矢量合成的方法，就可以得到各个方向的方向导数，
也就自然而然地可微了，也就是充分了。

可微就是在各个方向的方向导数存在，而方向导数是由各个正交方向上的
偏导数在欲求的方向导数的方向上分量之和所确定，只要某点的各偏导数
存在，就能得到各方向上的方向导数。只要各方向上的方向导数存在，就
是可微。并未要求各偏导数连续，这就是必要条件。

Answer 3

导数都是呢。肯定是可微必须连续，连续不一定可微赛。举可反例，绝对值x的函数图像就是连续的可是在x=0就是不可导的呢