Question

求解一道微分方程的题目！！！急

y'=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-x^2)，y(1)=-1;
上面这道题目，方法我会，而且也化到了最后，可是奇怪的是，如果将初始条件带入我是怎么也解不出来了，而且感觉很矛盾！！希望哪位朋友可以给我详细的解答过程。特别是最后带入的时候，谢谢！
答案是y=-x。

Answer 1

很简单，只是计算稍微麻烦了一点。我假设你已经了解过一元高次多项式的因式分解的知识
解：设y/x=u则 dy/dx=u+xdu/dx
这样dy/dx=(y²-2xy-x²)/(y²+2xy-x²)
可以化为
u+xdu/dx=(u²-2u-1)/(u²+2u-1)
整理得到
-(u²+2u-1)du/(u^3+u²+u+1)=dx/x (*)
关键是如何积分左边
对于分母u^3+u²+u+1，通过试根法，容易知道u=-1是u^3+u²+u+1=0
的一个有理解
故u^3+u²+u+1=(u+1)(u²+1)
根据上面的结论 注意，这里要求u≠-1否则分式无意义
当u≠-1时
(u²+2u-1)/(u^3+u²+u+1)
=[(3u²+2u+1)-2(u²+1)]/(u^3+u²+u+1)
=(3u²+2u+1)/(u^3+u²+u+1)-2(u²+1)/(u+1)(u²+1)
=(3u²+2u+1)/(u^3+u²+u+1)-2/(u+1)
故将(*)式两边积分得到
-ln|u^3+u²+u+1|+2ln|u+1|=ln|x|+C 其中C为积分常数
将u=y/x代入上式得到通解
-ln|(y/x)^3+(y/x)²+y/x+1|+2ln|y/x+1|=ln|x|+C
将y(1)=-1代入会发现上式通解不满足条件
故考虑u=-1的情况
当u=-1时
代入y(1)=-1满足条件
故在y(1)=-1的条件下，有特解y=-x
从这里可以发现给出的条件y(1)=-1满足的是特解而非通解
你大概忽略了u是否等于-1的讨论。所以无法解出满足条件的解

Answer 2

方程改写一下:
dy/dx=[(y/x)^2-2(y/x)-1]/[(y/x)^2+2(y/x)-1]
令u=y/x,
dx/x=(1/(u+1)-2u/(u^2+1)du
积分:
u+1=Cx(u^2+1)
通解为:
x+y=C(x^2+y^2)
y(1)=-1
代入有:
C=0
所以特解是:
x+y=0
即:
y=-x

Answer 3

> de := (D(y))(x) = (y(x)^2-2*x*y(x)-x^2)/(y(x)^2+2*x*y(x)-x^2);
2 2
y(x) - 2 x y(x) - x
D(y)(x) = ---------------------
2 2
y(x) + 2 x y(x) - x
>
> dsolve({de, y(1) = -1}, y(x))
y(x) = -x
用Maple轻松搞定

Answer 4

y'= (1/2)y^2=(y^2-2xy-x^2)/(y^2+2xy-x^2) 记住{y'=(1/2)y^2}
在带入 y(1)=-1
x=1时方程为y^4+2y^3+y^2+4y+2=0
再代入y=-1
1-2+1-4+2=0
即 y=-x