Question

北师大版高等代数，第九页带余除法的证明有疑问，

1我认为归纳假设的结论不包涵被除式次数小于除式次数的情况，所以黄点的那一行理由不充分，所以我认为应改成“由归纳假设和上述已得出的结论，”2第二归纳假设发不是先得证n=0成立吗？

Answer 1

1.第二数学归纳法第二条，假设n≦k（k属于N，k可以任意取）时命题成立，则n＝k+1成立。书上说f1的次数小于n（这里我可以设f1的次数是m,k取n-1,m≦n-1,即m<n,mn都属于N），书上归纳假设没毛病。2.第二归纳法是先证n＝1成立。

Answer 2

1 你把之前归纳假设看看清楚

2 不要那么教条，归纳法并不需要从0开始

追问

问题争议太大，三两句话说不清楚，该归纳假设本身是有歧义的，按1.包括左（被除式）<右（除式）和按2.不包括左<右都能能理解通，都能有各自和合理的解释。总之应该只有一种对，显然是按2最合理，但这样不符合归纳假设的推进式的证明习惯，因为每以低级证高级时都需加前以证明的命题作为条件。而你的意思是按1合理，而问题就出现在这里请看下图

追答

很明显你并没有掌握归纳法，你应该先去搞清楚如何证明数学归纳法是正确的（是证明归纳法本身的正确性，而不是如何用归纳法去证明别的命题），把这个搞懂之后你现在的这些疑问自动解决

追问

能彻底详尽地给我讲述一下第二数学归纳法吗

追答

所谓的第二归纳法和普通的归纳法可以说没有本质区别
比如说有一系列命题P(n)，其中n取遍自然数，如果可以证明
(a) P(0)成立
(b) 对任何自然数n而言从P(0),...,P(n)成立可以推出P(n+1)成立
那么P(n)对所有自然数n都成立
证明很简单，假定结论不成立，那么P(n)对某些n不成立，设n0是其中最小的一个
由(a)知n0>0，注意P(0),...,P(n0-1)都成立，再由(b)知P(n0)成立，矛盾

归纳法不管怎么变形，都是按上述方式保证其正确性的