Question

指出函数f(x)=x+ x分之一在(-无穷大到一],【-1,0】上的单调性,并证明

Answer 1

f(x)=x+1/x
是奇函数,只要研究一半(x>0),另一半单调性相反
f'(x)=1-1/x^2=(x+1)(x-1)/x^2=0
得
x=1
(1)当x属于(0,1)时,f'(x)<0,所以函数单调递减;
(2)当x属于(1,+∞)时,f'(x)>0,所以函数单调递增;
(3)当x属于(-1,0)时,f'(x)>0,所以函数单调递增;
(4)当x属于(-∞,-1)时,f'(x)<0,所以函数单调递减.
证明.取x1>x2>1
f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
因为x1>x2>1,所以1/x1x2<1,从而1-1/x1x2>0
而x1>x2
所以 f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以函数在(1,+∞)时,单调递增;
同理可证:当x属于(0,1)时,函数单调递减;
当x属于(-1,0)时,函数单调递增;
当x属于(-∞,-1)时,函数单调递减.