Question

求解一道微分方程，急！！

y''+y=x+3sin2x+2cosx

请给出详细的求通解和特解的过程！
主要是特解的求法，最好能给出待定系数法和微分算子法~~
因为这种形式的f（x）的特解不太会求啊，请详细点，谢谢了！！
我知道把方程分别看成：
左边=x
左边=3sin2x
左边=2cosx
然后分别求出三个方程的特解相加
可是，书上介绍的微分算子法我总是记不住代换，也搞不大清楚，但是如果分别用特解形式求导带入（待定系数法）的话，有时候会化的非常复杂，有没有稍简便实用的方法呢？？求高手赐教！！
无限感激！

Answer 1

首先，齐次方程y''＋y＝0的特征方程是r^2＋1＝0，得r＝±i，所以通解是y＝C1×sinx＋C2×cosx.
其次，求非齐次方程的一个特解：
很显然，y''＋y＝x有一个特解Y1＝x.

2i不是特征方程的根，所以y''＋y＝3sin2x的一个特解设为Y2＝k×sin2x，代入得k＝－1，所以Y2＝－sin2x

i是特征方程的单根，所以设y''＋y＝2cosx的一个特解为Y3＝x[asinx＋bcosx]，代入得a＝1，b＝0，所以Y3＝xsinx

所以，非齐次方程的一个特解Y＝Y1＋Y2＋Y3＝x－sin2x＋xsinx，通解是y＝x－sin2x＋xsinx＋C1×sinx＋C2×cosx.

Answer 2

没有其它简便的方法，本题分解自由项后似乎并不复杂，前面两个x与3sin2x对应的特解很容易得到，分别为x与sin2x，重点把第三个计算一下就可以了。

Answer 3