Question

大一数学题目，中值定理的课后习题，求证明过程。

Answer 1

f(0)=0, f(1)=k_1+k_2+...+k_n

由f(x)的连续性, 显然, 存在1>x_1>0, 满足f(x_1)=k_1
由于k_1+k_2>k_1, 由连续性知存在1>x_2>x_1, 满足f(x_2)=k_1+k_2
.....
这样, 我们可以得到一组x_0<x_1<x_2<...<x_n, 满足
f(x_0)=0 (此时x_0=0)
f(x_1)=k_1
f(x_2)=k_2+k_1
f(x_3)=k_3+k_2+k_1

....
f(x_n)=1 (x_n=1)
所以k_1=f(x_1)-f(x_0)=(x_1-x_0)*f'(a_1) (其中x_0<a_1<x_1)
k_2=f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)*f'(a_2) (其中x_1<a_2<x_2)
....
k_n=f(x_n)-f(x_(n-1))=(x_n-x_(n-1))*f'(a_n)(其中 x_(n-1)<a_n<x_n)
所以, 1=x_n-x_0=x_n-x_(n-1)+x_(n-1)-x_(n-2)+...+x_1-x_0=k_1/f'(a_1)+k_2/f'(a_2)+...+k_n/f'(a_n)

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Answer 2

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