含参变量积分计算
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在吗？关键就是这一步推到不会，就帮助
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科哲生化
2024-08-26 广告
分享一种解法。 设I(a)=∫(0,π/2)ln[(1+acosx)/(1-acosx)]dx/cosx。显然，I(0)=0。且丨a丨<1时，f(x)=ln[(1+acosx)/(1-cosx)]dx/cosx在x∈(0,π/2)上连续， ...
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最后推导出来的等式，属于可分离变量的微分方程。
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解：本题用微分方程法，对y求导转化成的微分方程I'(y)-2yI(y)=0，即I'(y)/I(y)=2y。两边对y从0到y积分、利用标准状态分布N(0，1)的密度函数得出的结果∫(x=0,∞)e^[(-1/2)t^2]dt=√(π/2)，解得I(y)=[√(π/2)]e^(-y^2)。
【分享另外一种解法】设I1=∫(x=0,∞)e^(-x^2)cos(2xy)dx，I2=∫(x=0,∞)e^(-x^2)sin(2xy)dx，I=I1+iI2=∫(x=0,∞)e^(-x^2+2ixy)dx【i为虚数单位，i^2=-1】。而(-x^2+2ixy)=-(x-iy)^2-y^2，∴I=e^(-y^2)∫(x=0,∞)e^[-(x-iy)^2]dx，设x-iy=t/√2、利用∫(x=0,∞)e^[(-1/2)t^2]dt=√(π/2)，∴I=[√(π/2)]e^(-y^2)。∴I1=I(y)=I=[√(π/2)]e^(-y^2)。【当然，还可以用复变函数中的留数定理求解】。供参考。
【分享另外一种解法】设I1=∫(x=0,∞)e^(-x^2)cos(2xy)dx，I2=∫(x=0,∞)e^(-x^2)sin(2xy)dx，I=I1+iI2=∫(x=0,∞)e^(-x^2+2ixy)dx【i为虚数单位，i^2=-1】。而(-x^2+2ixy)=-(x-iy)^2-y^2，∴I=e^(-y^2)∫(x=0,∞)e^[-(x-iy)^2]dx，设x-iy=t/√2、利用∫(x=0,∞)e^[(-1/2)t^2]dt=√(π/2)，∴I=[√(π/2)]e^(-y^2)。∴I1=I(y)=I=[√(π/2)]e^(-y^2)。【当然，还可以用复变函数中的留数定理求解】。供参考。
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谢谢，这种方法我更不会用😂
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