Question

已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d，当x∈(0,1)时，f(x)取极大值，f(x)∈(1,2)时，f(x)取极小值

则(b+1/2)²+(c-3)²的取值范围是多少？
答案是（5,25)

Answer 1

f'(x)=3x^2+2bx+c,
依题意它的零点在(0,1)和(1,2)中，
∴f'(0)=c>0,f'(1)=3+2b+c<0,f'(2)=12+4b+c>0,
∴-（c+12)/4<b<-(c+3)/2,
∴-（c+10)/4<b+1/2<-(c+2)/2,
∴0<c<6,①
(c+2）^2/4<（b+1/2)^2<(c+10)^2/16,
∴(c+2）^2/4+(c-3)^2<（b+1/2)^2+(c-3)^2<(c+10)^2/16+(c-3)^2,
上式左边=（5/4）c^2-5c+10=(5/4)(c-2)^2+5>=5,
右边=（17/16）c^2-(19/4)c+61/4
=(17/16)(c-38/17)^2+699/34,
c→6时右边→25，
由①，右边<25,
∴所求的取值范围是[5,25).