Question

关于交换积分次序 如下

1：此题我是分别画图变换积分 积出来两个式子 而老师画在一张图上做整体变换积分 出来一个式子 哪个是对的？
2：此题两个都是定x积y，若前一个是定x积y，后一个是定y积x，那么要分别画图变换积分 还是仍然画在一张图上做整体变换？

Answer 1

1、从积分结果来说两个都是对的，但是后者更好；因为你写出的两个式子还可以进行一步化简，最终得到的还是你老师的那个结果。并且，从思路上来说，你老师的做法更合理，先根据现有式子画出两个积分区域，而他们恰好合并为一个整体区域，那么为什么不直接在这个整体区域上积分呢？本题交换积分次序的意义也在于此。
2、同上，二者没有本质的区别，哪一种方法都是对的。
最后，额外说一句，数学不是为了解题本身，而是解决其他问题的工具。图片中的题交换积分次序的含义是告诉我们：交换积分次序可以简化计算（少算一次积分）；而你第二问，现实中不需要那么做，因为如果你交换后并没有简化计算，那交换的意义何在？如果纯粹为了出题而交换，那这是一道破题，训练机器而不是教数学。

Answer 2

这两个积分区间没有重合，应该都可以把。

Answer 3