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6.
证:
令F(x)=∫f(x)dx,则F'(x)=f(x)
3[F(1)-F(⅔)]=f(0)=F'(0)
F'(0)=[F(1)-F(⅔)]/(1-⅔)
由拉格朗日中值定理得,在(⅔,1)内,至少存在一点ξ,使得
F'(ξ)=[F(1)-F(⅔)]/(1-⅔)
因此F'(ξ)=F'(0)
由罗尔中值定理得,在(0,ξ)内,至少存在一点c,使得
f'(c)=[F'(ξ)-F'(0)]/(ξ-0)=0
(0,ξ)⊂(0,1)
因此在(0,1)内,至少存在一点c,使得f'(c)=0
证:
令F(x)=∫f(x)dx,则F'(x)=f(x)
3[F(1)-F(⅔)]=f(0)=F'(0)
F'(0)=[F(1)-F(⅔)]/(1-⅔)
由拉格朗日中值定理得,在(⅔,1)内,至少存在一点ξ,使得
F'(ξ)=[F(1)-F(⅔)]/(1-⅔)
因此F'(ξ)=F'(0)
由罗尔中值定理得,在(0,ξ)内,至少存在一点c,使得
f'(c)=[F'(ξ)-F'(0)]/(ξ-0)=0
(0,ξ)⊂(0,1)
因此在(0,1)内,至少存在一点c,使得f'(c)=0
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