Question

第一张图是题目，第二张图是我的做法，看看错在哪了

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Answer 1

积分错了，S(a)=1/2也错了。
2/(2-t)的原函数是-2ln(2-t)。
展开点a＝0，从0到x积分后是-2ln(2-x)+2ln2。你漏掉了2ln2。
而且S(0)=0，因为这里的S(a)要用到的级数是∑1/n×(x/2)^n，不是∑(x/2)^(n-1)。

追问

傻了我…不过我这个解题方向是对的吧

追答

对的，不过这样写起来容易出错，最好是先单独计算xS(x)得到的级数∑1/n×(x/2)^n，然后再求S(x)。像你这样一写就是一大串数学式子，让人看起来也觉得太繁琐。
比如这样：
xS(x)=∑1/n×(x/2)^n，-2≤x＜2。
逐项求导，(xS(x))'=∑(x/2)^(n-1)＝1/(1-x/2)=2/(2-x)，-2＜x＜2。
从0到x积分，xS(x)=-2ln(2-x)+2ln2=-2ln(1-x/2)，-2≤x＜2。
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追问

原来是这样啊，现在步骤还没规范起来，以后要规范步骤咯