Question

高数不会做，求解答

Answer 1

(1).求微分方程 dy/dx+ycotx=5e^cosx满足条件：y(π/2)=-4的特解。
解：先求齐次方程dy/dx+ycotx=0的通解：
分离变量得 dy/y=-cotxdx
积分之得lny=-∫cotxdx=-lnsinx+lnc=ln(c/sinx)
故通解为 y=c/sinx；将c换成x的函数u，得y=u/sinx...........(1)
将(1)两边对x取导数得：dy/dx=(u'sinx-ucosx)/sin²x=u'/sinx-ucosx/sin²x..........(2)
将(1)(2)代入原式得：u'/sinx-ucosx/sin²x+ucosx/sin²x=5e^cosx
化简得u'/sinx=5e^cosx
即有du=5(sinx)(e^cosx)dx
积分之得 u=5∫(sinx)(e^cosx)dx=-5∫(e^cosx)d(cosx)=-5e^cosx+c
代入(1)式即得原方程的通解为 y=(-5e^cosx+c)/sinx
代入初始条件y(π/2)=-4，得c=-4;
∴原方程满足初始条件的特解为: y=(-5e^cosx-4)/sinx.
(2).dy/dx+(2-3x²)y/x³=1, y(1)=0.
解：先求齐次方程dy/dx+(2-3x²)y/x³=0的通解：
分离变量得：dy/y=[(3x²-2)/x³]dx
积分之得lny=∫[(3x²-2)/x³]dx=3∫(1/x)dx-2∫(1/x³)dx=3lnx+1/x²+lnc₁=ln(c₁x³)+1/x²
故y=e^(lnc₁x³+1/x²)=c₁x³e^(1/x²)
将c₁换成x的函数u，得y=ux³e^(1/x²)..........(1)
将(1)对x取导数得 dy/dx=3ux²e^(1/x²)+u'x³e^(1/x²)-(2ue^(1/x²),
代入原式得 3ux²e^(1/x²)+u'x³e^(1/x²)-2ue^(1/x²)+（2-3x²)ue^(1/x²)=1
化简得 u'x³e^(1/x²)=1
分离变量得du=[1/x³e^(1/x²)]dx=x^(-3)·e^(-1/x²)dx
积分之得 u=∫x^(-3)·e^(-1/x²)dx=(1/2)∫d[e^(-1/x²)]=(1/2)e^(-1/x²)+c
代入(1)式即得原方程的通解为y=[(1/2)e^(-1/x²)+c]x³e^(1/x²)=(1/2)x³+cx³e^(1/x²)
代入初始条件y(1)=0得 -1/(2e).
所以满足初始条件的特解为 y=(x³/2)[1+e^(-1+1/x²)]