有理函数的不定积分，我知道要把有理真分式分解，要具体计算过程 15
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解：本题可以直接用“凑”的方法解决。
∵x^3+x^2+2=x^3+2x-2x+(x^2+2)=(x+1)(x^2+2)-2x，∴(x^3+x^2+2)/(x^2+2)^2=(x+1)/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2，
∴原式=∫(x+1)dx/(x^2+2)-∫2xdx/(x^2+2)^2=(1/2)∫(2x+2)dx/(x^2+2)+1/(x^2+2)。
而∫(2x+2)dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+2∫dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+(√2)arctan(x/√2)+C1，
∴原式=(1/2)ln(x^2+2)+(√2/2)arctan(x/√2)+1/(x^2+2)+C。供参考。
∵x^3+x^2+2=x^3+2x-2x+(x^2+2)=(x+1)(x^2+2)-2x，∴(x^3+x^2+2)/(x^2+2)^2=(x+1)/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2，
∴原式=∫(x+1)dx/(x^2+2)-∫2xdx/(x^2+2)^2=(1/2)∫(2x+2)dx/(x^2+2)+1/(x^2+2)。
而∫(2x+2)dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+2∫dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+(√2)arctan(x/√2)+C1，
∴原式=(1/2)ln(x^2+2)+(√2/2)arctan(x/√2)+1/(x^2+2)+C。供参考。
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被积表达式化为真分式
=[(x^3+2x)+(x^2+2)-2x]/(x^2+2)^2
=x/(x^2+2)+1/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2
∫x/(x^2+2)dx=1/2ln(x^2+2)+c
∫1/(x^2+2)dx=∫1/2*1/(x/√2）^2+1)dx=1/√2*arctan1/(x/√2）+c
-∫2x/(x^2+2)^2dx=-1/2*(x^2+2)+c
三式相加
=[(x^3+2x)+(x^2+2)-2x]/(x^2+2)^2
=x/(x^2+2)+1/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2
∫x/(x^2+2)dx=1/2ln(x^2+2)+c
∫1/(x^2+2)dx=∫1/2*1/(x/√2）^2+1)dx=1/√2*arctan1/(x/√2）+c
-∫2x/(x^2+2)^2dx=-1/2*(x^2+2)+c
三式相加
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