Question

Mathematica 到底有多厉害

Answer 1

Mathematica是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。很多功能在相应领域内处于世界领先地位，它也是使用最广泛的数学软件之一。Mathematica的发布标志着现代科技计算的开始。Mathematica是世界上通用计算系统中最强大的系统。自从1988发布以来，它已经对如何在科技和其它领域运用计算机产生了深刻的影响。
Mathematica和MATLAB、Maple并称为三大数学软件

基本运算
a+
mathematica数学实验(第2版)
b+c 加
a-b 减
a b c 或 a*b*c 乘
a/b 除
-a 负号
a^b 次方
Mathematica 数字的形式
256 整数
2.56 实数
11/35 分数
2+6I 复数
常用的数学常数
Pi 圆周率，π=3.141592654…
E 欧拉常数，e=2.71828182…
Degree 角度转换弧度的常数，Pi/180
I 虚数单位，其值为 √-1
Infinity 无限大
指定之前计算结果的方法
% 前一个运算结果
%% 前二个运算结果
%%…%(n个%) 前n个运算结果
%n 或 Out[n] 前n个运算结果
复数的运算指令
a+bI 复数
Conjugate[a+bI] 共轭复数
Re[z], Im[z] 复数z的实数/虚数部分
Abs[z] 复数z的大小或模数(Modulus)
Arg[z] 复数z的幅角(Argument)
Mathematica 输出的控制指令
expr1; expr2; expr3 做数个运算，但只印出最后一个运算的结果
expr1; expr2; expr3; 做数个运算，但都不印出结果
expr; 做运算，但不印出结果

常用数学函数
Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x] 三角函数，其引数的单位为弧度
Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x],… 双曲函数
ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x] 反三角函数
ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]
ArcSinh[x],ArcCosh[x],ArcTanh[x],… 反双曲函数
Sqrt[x] 根号
Exp[x] 指数
Log[x] 自然对数
Log[a,x] 以a为底的对数
Abs[x] 绝对值
Round[x] 最接近x的整数
Floor[x] 小于或等于x的最大整数
Ceiling[x] 大于或等于x的最小整数
Mod[a,b] a/b所得的余数
n! 阶乘
Random[] 0至1之间的随机数（最新版本已经不用这个函数，改为使用RandomReal[]）
Max[a,b,c,...]，Min[a,b,c,…] a,b,c,…的极大/极小值

数值设定
x=a 将变数x的值设为a
x=y=b 将变数x和y的值均设为b
x=. 或 Clear[x] 除去变数x所存的值
变数使用的一些法则
xy 中间没有空格，视为变数xy
x y x乘上y
3x 3乘上x
x3 变数x3
x^2y 为 x^2 y次方运算子比乘法的运算子有较高的处理顺序

四个处理指令
Expand[expr] 将 expr展开
Factor[expr] 将 expr因式分解
Simplify[expr] 将 expr化简成精简的式子
FullSimplify[expr] Mathematica 会尝试更多的化简公式，将 expr化成更精简的式子

多项式转换
ExpandAll[expr] 把算式全部展开
Together[expr] 将 expr各项通分在并成一项
Apart[expr] 把分式拆开成数项分式的和
Apart[expr,var] 视var以外的变数为常数，将 expr拆成数项的和
Cancel[expr] 把分子和分母共同的因子消去

分母分子运算
Denominator[expr] 取出expr的分母
Numerator[expr] 取出expr的分子
ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母
ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子

转换函数
Collect[expr,x] 将 expr表示成x的多项式，
如
Collect[expr,{x,y,…}] 将 expr分别表示成 x,y,…的多项式
FactorTerms[expr] 将 expr的数值因子提出，
如 4x+2=2(2x+1)
FactorTerms[expr,x] 将 expr中把所有不包含x项的因子提出
FactorTerms[expr,{x,y,…}] 将 expr中把所有不包含{x,y,...}项的因子提出

函数指数运算
TrigExpand[expr] 将三角函数展开
TrigFactor[expr] 将三角函数所组成的数学式因式分解
TrigReduce[expr] 将相乘或次方的三角函数化成一次方的基本三角函数之组合
ExpToTrig[expr] 将指数函数化成三角函数或双曲函数
TrigToExp[expr] 将三角函数或双曲函数化成指数函数

次方乘积
ComplexExpand[expr] 假设所有的变数都是实数来对 expr展开
ComplexExpand[expr,{x,y,…}] 假设x,y,..等变数均为复数来对 expr展开
PowerExpand[expr] 将

系数最高次方
Coefficient[expr,form] 于 expr中form的系数
Exponent[expr,form] 于 expr中form的最高次方
Part[expr,n] 或 expr[[n]] 在 expr项中第n个项

代换运算子
expr/.x->value 将 expr里所有的x均代换成value
expr/.{x->value1,y->value2,…} 执行数个不同变数的代换
expr/.{{x->value1},{x->value2},…} 将 expr代入不同的x值
expr//.{x->value1,y->value2,…} 重复代换到 expr不再改变为止

求解方程式
Solve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs，求x
Nsolve[lhs==rhs,x] 解方程式lhs==rhs的数值解
Solve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}] 解联立方程式，求x,y,…
NSolve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}] 解联立方程式的数值解
FindRoot[lhs==rhs,{x,x0}] 由初始点x0求lhs==rhs的根

四种括号
(term) 圆括号，括号内的term先计算
f[x] 方括号，内放函数的引数
{x,y,z} 大括号或串列括号，内放串列的元素
p[[i ]] 或 Part[p,i] 双方括号，p的第i项元素
p[[i,j]] 或 Part[p,i,j] p的第i项第j个元素

缩短输出指令
expr//Short 显示一行的计算结果
Short[expr,n] 显示n行的计算结果
Command; 执行command，但不列出结果

查询物件
?Command 查询Command的语法及说明
??Command 查询Command的语法和属性及选择项
?Aaaa* 查询所有开头为Aaaa的物件

定义查询清除
f[x_]= expr 立即定义函数f[x]
f[x_]:= expr 延迟定义函数f[x]
f[x_,y_,…] 函数f有两个以上的引数
?f 查询函数f的定义
Clear[f] 或 f=. 清除f的定义
Remove[f] 将f自系统中清除掉
含有预设值的Pattern
a_+b_. b的预设值为0，即若b从缺，则b以0代替
x_ y_ y的预设值为1
x_^y_ y的预设值为1
条件式的自订函数
lhs:=rhs/;condition 当condition成立时，lhs才会定义成rhs

If指令
If[test,then,else] 若test为真，则回应then，否则回应else
If[test,then,else,unknow] 同上，若test无法判定真或假时，则回应unknow

极限
Limit[expr,x->c] 当x趋近c时，求expr的极限
Limit[expr,x->c,Direction->1]
Limit[expr,x->c,Direction->-1]

微分
D[f,x] 函数f对x作微分
D[f,x1,x2,…] 函数f对x1,x2,…作微分
D[f,{x,n}] 函数f对x微分n次
D[f,x,NonConstants->{y,z,…}] 函数f对x作微分，将y,z,…视为x的函数

全微分
Dt[f] 全微分df
Dt[f,x] 全微分
Dt[f,x1,x2,…] 全微分
Dt[f,x,Constants->{c1,c2,…}] 全微分，视c1,c2,…为常数

不定积分
Integrate[f,x] 不定积分 ∫f dx

定积分
Integrate[f,{x,xmin,xmax}] 定积分
Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 定积分

列之和与积
Sum[f,{i,imin,imax}] 求和
Sum[f,{i,imin,imax,di}] 求数列和，引数i以di递增
Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]
Product[f,{i,imin,imax}] 求积
Product[f,{i,imin,imax,di}] 求数列之积，引数i以di递增
Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]

泰勒展开式
Series[expr,{x,x0,n}] 对 expr于x0点作泰勒级数展开至(x-x0)n项
Series[expr,{x,x0,m},{y,y0,n}] 对x0和y0展开
关系运算子
a==b 等于
a>b 大于
a>=b 大于等于
a<b 小于
a<=b 小于等于
a!=b 不等于

逻辑运算子
!p not
p||q||… or
p&&q&&… and
Xor[p,q,…] exclusive or
LogicalExpand[expr] 将逻辑表示式展开

二维绘图指令
Plot[f,{x,xmin,xmax}]
画出f在xmin到xmax之间的图形
Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]
同时画出数个函数图形
Plot[f,{x,xmin,xmax},option->value]
指定特殊的绘图选项，画出函数f的图形

Plot几种指令
选项 预设值 说明
AspectRatio 1/GoldenRatio 图形高和宽之比例，高/宽
Axes True 是否把坐标轴画出
AxesLabel Automatic 为坐标轴贴上标记，若设定为
AxesLabel->{?ylabel?}，则为y轴之标记。若设定为AxesLabel->{?xlabel?,?ylabel?}
，则为{x轴,y轴}的标记
AxesOrigin Automatic 坐标轴的相交的点
DefaultFont $DefaultFont 图形里文字的预设字型
Frame False 是否将图形加上外框
FrameLabel False 从x轴下方依顺时针方向加上图形外框的标记
FrameTicks Automatic (如果Frame设为True)为外框加上刻度;
None则不加刻度
GridLines None 设Automatic则于主要刻度上加上网格线
PlotLabel None 整张图之图名
PlotRange Automatic 指定y方向画图的范围
Ticks Automatic 坐标轴之刻度，设None则没有刻度记号出现
※“Automatic、None、True、False”为Mathmatica常用的选项设定，其代表意义分别为“使用内部设定、不包含此项、作此项目、不作此项目”。

串列绘图
ListPlot[{y1,y2,…}] 画出{1,y1},{2,y2},…的点
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}] 画出{x1,y1},{x2,y2},…的点
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…},PlotJoined->True] 把画出来的点用线段连接

绘图颜色指定
Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax},
PlotStyle->{RGBColor[r1,g1,b1],RGBColor[r2,g2,b2],…}]

彩色绘图
Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax},
PlotStyle->{GrayLevel,GrayLevel[j],…}]
灰阶绘图

图形处理指令
Show[plot] 重画一个图
Show[plot1,plot2,…] 将数张图并成一张
Show[plot,option->opt] 加入选项

图形之排列
Show[GraphicsArray[{plot1,plot2,…}]] 将图形横向排列
Show[GraphicsArray[{,,…}]] 将图形垂直排列
Show[GraphicsArray[{{plot1,plot2,…},…}]] 将图形成二维矩阵式排列
二维参数图
ParametricPlot[{f1,f2},{t,tmin,tmax}]
参数绘图
ParametricPlot[{{f1,f2},{g1,g2},…},{t,tmin,tmax}]
同时绘数个参数图
ParametricPlot[{f1,f2},{t,tmin,tmax},AspectRatio->Automatic]
保持曲线的真正形状，即x,y坐标比为1：1

等高线图
ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
于指定范围之内画出f的等高线图
ContourPlot选项
选项 预设值 说明
ColorFunction Automatic 上色的预设值为灰阶，选Hue则为系列色彩
Contours 10 等高线的数目。设Contours->{z1,z2,…}则指定等高值为z1,z2,…
ContourShading True Contour的上色，选False则不上色
PlotRange Automatic 高度z值的范围，也可指定{zmin,zmax}