Question

初三数学题,二问

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Answer 1

1,∵△PQE，△PCF是等边△
∴∠CPF=∠QPE=60° ,即
∠QPF+∠FPE=∠QPF+∠CPQ
∴∠FPE=∠CPQ
又∵ CP=PF,PQ=PE (等边△)
∴△QCP≌△EFP(边角边定理)
∴∠PFE=∠ACB=90°
∴EF⊥PF
∵∠CPF=∠B=60°
∴AB//PF
∴EF⊥AB

2,连接PD
∵PQ=PE,∠EQP=∠QEP=60°,PD=PD
∴△QPD≌△EPD,即
QD=DE(D是QE中点)
∵∠DCP=60°
∴PD²=CD²+CP²-2*COS60°*CD*CP=CD²+CP²-CD²(余弦定理）
PD=PE*SIN60°, CD=DF+CF
CP=PF=CF, PE*PE=CP*CP+EF*EF(勾股定理)，代入即得：
0.75*（CP²+EF²)=(CP+DF)²+CP²-(CP+DF)*CP
简化即得：
0.5CP+DF=sin60°*EF

Answer 2

设PE和AB交于点H,EF交AB于点G
∵∠EPQ=∠EPF+∠QPF=60,∠CPF=∠CPQ+∠QPF=60,
∠EPF+∠QPF=∠CPQ+∠QPF=60,
∴∠EPF=∠CPQ

∵PQ=PE,∠EPF=∠CPQ,CP=PF
∴△CPQ≌△PEF(SAS)
∴∠EFP=∠PCQ=90

又,∠CPE=∠EPF+∠CPF=∠EPF+60
∵∠CPE=∠ABC+∠PHB=60+∠PDB=60+∠AHE
∠CPE=∠EPF+60=60+∠AHE
∴∠EPF=∠AHE
∴EF//AB
∵∠EFP=∠AGE
∵∠EFP=∠PCQ=90
∴∠AGE=90
∴EF⊥AB
2)