设D是由y=x^2-4和y=0围成的平面区域,I=∫∫D (ax+y)dxdy,则为什么I<0？
具体原因如下：
i=∫[0,2]∫[-1,1]|y-x^2|dxdy。
=∫[-1,1]∫[0,x^2]|y-x^2|dydx+∫[-1,1]∫[x^2,2]|y-x^2|dydx。
=∫[-1,1]∫[0,x^2](x^2-y)dydx+∫[-1,1]∫[x^2,2](y-x^2)dydx。
=∫[-1,1](x^2*y-1/2*y^2)|[0,x^2]dx+∫[-1,1](1/2*y^2-x^2*y)|[x^2,2]dx。
=∫[-1,1]1/2*x^4dx+∫[-1,1](2-2x^2+1/2*x^4)dx。
=∫[-1,1](x^4-2x^2+2)dx。
=1/5*x^5-2/3*x^3+2x|[-1,1]。
=2*(1/5-2/3+2)。
=46/15。
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。
比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
先解出交点：
{ y = √(2x - x²)
{ y = 2 - x
得(1,1)、(2,0)
I = ∫∫ (x + y) dxdy、这区域不宜用极坐标
= ∫(1→2) ∫(2 - x→√(2x - x²)) (x + y) dydx
= ∫(1→2) (xy + y²/2)：(2 - x→√(2x - x²)) dx
= ∫(1→2) [x - 2 + x√(2x - x²)] dx
= (x²/2 - 2x)：(1→2) + ∫(1→2) x√[1 - (x - 1)²] dx、Let x - 1 = sinθ
= - 1/2 + ∫(0→π/2) (1 + sinθ)cos²θ dθ
= - 1/2 + ∫(0→π/2) cos²θ dθ + ∫(0→π/2) sinθcos²θ dθ
= - 1/2 + 1/2 * π/2 - 1/3 * cos³θ：(0→π/2)
= - 1/2 + π/4 - 1/3 * (0 - 1)
= π/4 - 1/6
= (6π - 4)/24
扩展资料：
积分的性质
通常意义
积分都满足一些基本的性质。在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。
线性
积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
保号性
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。
第一步ax为奇函数，积出来为0？单独积一下好吗？
这是结论，奇函数积分是偶函数，对称区间一减，刚好是0
