Question

求解！将函数展开成x的函数的问题！大学微积分！谢谢了！

将下列函数展开成x的幂级数，并求其成立的区间
(1)f(x)=ln(a+x)
(2)f(x)=e^-x²
(3)f(x)=cos²x
谢谢了！求具体过程！

Answer 1

答：

（1）：ln(a+x) = ln(a)+Σ(n=1,∞) (-1)ⁿ⁻¹*xⁿ/(naⁿ)

收敛域为- a < a ≤ a

（2）：e^(- x²) = Σ(n=0,∞) (-1)ⁿ*x²ⁿ/n!

收敛域为(-∞,+∞)

（3）：cos²x = 1/2+1/2*Σ(n=0,∞) 2²ⁿ*x²ⁿ/(2n)!

收敛域为(-∞,+∞)

这三道题都蛮基础的，套用一般的泰勒级数公式再化简一下就是了

过程如图所示：

其中在计算收敛域的部分没有详细说明，那个只是用极限比值法就能轻松求出来了，有不懂的就再追问吧。

追问

请问这一步怎么变来的呢？已知是有泰勒公式变的

谢谢

追答

后面那个级数是运用ln(1+x)=Σ(n=1,∞) (-1)^(n-1)*x^n/n
你把x换为x/a就是了

追问

不是很理解呀 泰勒公式不是这样的吗 怎么n!还有（x-x0）^n不见了呢

追答

题目说了，展开为x的幂级数，即结果中只能出现x^n

如果题目说的是展开为x-x0的幂级数的话，就是用(x-x0)^n，也就是你给的那个级数来表示结果

泰勒公式的定义就是这样的，求多少阶导数就会产生相应阶数项的系数

追问

请问这种题又要怎么证明呢

Answer 2

题目呢
？？？

追问

我补充了 刚图片上传不成功