Question

两道几何题啊啊学霸

Answer 1

(1)

∠ABC+∠ADC=180°

A、B、C、D四点共圆

∠DAC=∠DBC

(2)

∠ADB=∠BDC=60°

△ABD内，AB*AB=AD*AD+BD*BD-2*AD*BD*cos∠ADB=AD*AD+BD*BD-AD*BD

同理，BC*BC=CD*CD+BD*BD-BC*BD

AB=BC，

所以，

AD*AD-CD*CD=(AD+CD)*(AD-CD)=(AD-BC)*BD

当AD≠CD时，AD+CD=BD

当AD=CD时，BD为圆直径，也有AD+CD=BD

Answer 2

∵AB=BC,∠ABC=60
∴△ABC是等边三角形
∴∠BCE=60,AB=BC=AC
又BD是∠ADCG平分线
∴∠ADE=∠CDE=1/2∠ADC=60
在△ADE和△BCE中
∵∠ADE=∠BCE=60,∠AED=∠BEC
∴∠DAE=∠EBC
∴∠DAC=∠DBC
2)在DB上取DF=CD,连接CF,AF
∵DF=CD,∠CDE=60
∴△DCF是等边三角形
∴∠DCF=60,CD=CF
∵∠DCF=∠ACD+∠ECF=60,∠ACB=∠BCF+∠ECF=60,
∠ACD+∠ECF=∠BCF+∠ECF=60,
∴∠ACD=∠BCF
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60,AB=BC=AC
∵AC=BC,∠ACD=∠BCF,CD=CF
∴△ACD≌△BCF(SAS)

∴AD=BF
∵DF+BF=DB,AD=BF,DF=CD
∴AD+CD=DB

Answer 3

（1）证明：过点C分别作CE垂直AB且交AB的延长线于E ,CF垂直BD于F
所以角CED=角CEA=90度
角CFD=角CFB=90度
所以三角形CEA和三角形CFB是直角三角形
因为角ADC+角CDE=180度
角ADC=120度
所以角CDE=60度
因为BD平分角ADC
所以角ADB=角CDB=1/2角ADC=60度
所以角CDE=角CDB=60度
因为CD=CD
所以三角形CDE和三角形CDF全等（AAS)
所以CE=CF
因为AB=BC
所以三角形ABC是等腰三角形
因为角ABC=60度
所以三角形ABC是等边三角形
所以角ACB=60度
AB=AC=BC
因为CE=CF（已证）
所以直角三角形ACE和直角三角形BCF全等（HL)
所以角DAC=角DBC
（2）证明：在BD边上截取DM=DC=1/2AM，连接CM
所以三角形CDM是等腰三角形
因为角CDB=60度（已证（
所以三角形CDM是等边三角形
所以角DCM=角CD+角ACM=60度
DC=MC
角DCM=角ACD+角ACM=60度
因为角ACB=角ACM+角BCM=60度（已证）
所以角ACD=角BCM
因为AC=BC（已证）
所以三角形ACD和三角形BCM全等（SAS)
所以AD=BM
因为BD=BM+DM
所以AD+DC=BD
(1)证明：延长AD，使DM=AD，连接CM
因为AD是三角形ABC的中线
所以D是BC的中点
所以BD=CD
因为角ADB=角MDC（对顶角相等）
所以三角形ADB和三角形MDC全等（SAS)
所以AB=MC
角BAD=角M
所以AB平行MC
所以角BAC+角ACM=180度
因为AE垂直AB
所以角BAE=90度
因为AF垂直AC
所以角CAF=90度
因为角BAE+角BAC+角CAF+角FAE=360度
所以角BAC+角FAE=180度
所以角ACM=角FAE
因为AB=AE
所以MC=AE
因为AF=AC
所以三角形AFE和三角形CAM全等（SAS)
所以AM=EF
所以EF=2AD
(2)证明：延长DA交EF于N
因为三角形AFE和摄像机CAM全等（已证）
所以角CAM=角AFE
因为角CAM+角CAF+角FAN=180度
角CAF=90度（已证）
所以角FAN+角AFE=90度
因为角FAN+角AFE+角ANF=180度
所以角ANF=90度
所以EF催着AD

Answer 4

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