Question

指出下列题中的函数是否为所给方程的解,若是,请说明是通解还是特解

请给出过程
xy'=y,y=2x

y''+y'-2y=0,y=c1+e^-2x+c2e^x
x*dy/dx+3y=0,y=c*x^-3

Answer 1

　　解：xy'=y，则dy/y=dx/x，两边积分，有ln丨y丨=ln丨x丨+lnc，∴通解为y=cx，∴y=2x是其特解。
　　y''+y'-2y=0是二阶齐次方程，其特征方程为r^2+r-2=0，∴r1=-2，r2=1。∴其通解为y=c1e^(-2x)+C2e^x。∴y=c1+e^(-2x)+C2e^x是其特解。
　　xdy/dx+3y=0，则dy/y=-3dx/x，两边积分，有ln丨y丨=-3ln丨x丨+lnc，∴通解为y=cx^(-3)。
　　供参考。

追问

xy'=y，变到这个dy/y=dx/x是为什么啊

追答

∵y'是dy/dx的缩写【简写】。∴xy'=y，即xdy/dx=y，∴dy/y=dx/x。

追问

第二个什么是特征方程

追答

　　特征方程法是求解微分方程的一种方法，其本质是将y=e^(rx)作为其解导入所给定的方程而反推出来的。
　　讲起来较复杂，建议，系统地、先看看教科书，增加了解啊。

追问

不用特征方程能解吗

追答

可以，但这样“费力”更多，不值得。

Answer 2

(1)y=cx³,y'=3cx²
xy'=x*3cx²=3cx³=3y
所以这是原方程的通解
(2)dy/dx=-e^(-x)+1
dy/dx+y=-e^(-x)+1+e^(-x)+x-1=x
所以这是原方程的特解
(3)原方程可变为：x²-sin(y)*(dy/dx)=0
dy/dx=-sin(x)
x²-sin(cos(x+c))*(-sin(x))不等于0
所以这不是原方程的解