Question

在x^2+y^2+z^2=1条件下, 求f=x^2+3y^2+z^2+2xy+2xz+2yz的极值

Answer 1

解：f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=1+2y^2+2xy+2xz+2yz
=1+2(x+y)(y+z)
F(x,y,z)=f(x,y,z)+λ(x^2+y^2+z^2-1)
令pF/px=0,pF/py=0,pF/pz=0,pF/pλ=0（运算符p为求偏导运算）得方程组：
2y+2z+2λx=0①
4y+2x+2z+2λy=0②
2x+2y+2λz=0③
x^2+y^2+z^2-1=0 ④
①+③-②得
λ=0或x+z=y
若λ=0，易解得x=√3/3,y=-√3/3,z=√3/3或
x=-√3/3,y=√3/3,z=-√3/3
代入得极值为1
若x+z=y，代入①得
(1+λ)x=-2z ⑤
代入②得
(λ+3)y=0 ⑥
代入③得
(1+λ)z=-2x ⑦
由⑥得λ=-3或y=0
若λ=-3，代入⑤得x=z (同⑦一样)
又y=x+z=2x
代入④解得
x=z=±√6/6
y=±√6/3
此时极值为4
若y=0，代入①②③得
z=-λx
z=-x
x=-λz
得λ=1（若λ≠1，就有x=z=0，而y=0，与式④矛盾）
于是有z=-x,y=0,代入式④解得x=±√2/2，y=0，z=-+√2/2
得极值0
可见，极值分别为1,4,0