Question

第二小题 高数

Answer 1

第二问和第一问一样的办法呀！
证明：
∵f(x)在(a,b)内连续，

∴f(x)在(a,b)内存在最大值M和最小值m
显然：
m≤f(x)≤M
又∵f(x)>0
因此：m>0
∴lnm≤lnf(x)≤lnM
∀λ∈{λ1，λ2，λ3......λn}，则：
λlnm≤λlnf(x)≤λlnM
又∵

x1,x2,x3...xn∈（a,b）
∴
λ1lnm≤λ1lnf(x1)≤λ1lnM
λ2lnm≤λ2lnf(x2)≤λ2lnM
λ3lnm≤λ2lnf(x3)≤λ3lnM
....
λnlnm≤λnlnf(xn)≤λnlnM
上述各式相加：
(λ1+...+λn)lnm≤λ1lnf(x1)+...+λnlnf(xn)≤(λ1+...+λn)lnM
因此：
lnm≤λ1lnf(x1)+...+λnlnf(xn)≤lnM
即：
lnm≤ln[f(x1)^λ1]·[f(x2)^λ2]....[f(xn)^λn]≤lnM
于是：
m≤[f(x1)^λ1]·[f(x2)^λ2]....[f(xn)^λn]≤M
由介质定理：
∃ξ∈(a,b)，则：
f(ξ) = [f(x1)^λ1]·[f(x2)^λ2]....[f(xn)^λn]