Question

求助一道初中数学题：已知x平方+y平方+1被xy整除，其中x，y为正整数，求证(x平方+y平方+1)/xy=3

Answer 1

设(xx+yy+1)/(xy)=t,
则xx+yy+1-txy=0,
设(a,b)是方程xx+yy+1-txy=0的一组正整数解,
由韦达定理得(tb-a,b)和(a,ta-b)也是方程xx+yy+1-txy=0的解,
（一）如果a>b,则a≥b+1，
所以a-(tb-a)=2a-tb=2a-(aa+bb+1)/a=(aa-bb-1)/a≥2b/a>0，
所以a>tb-a,
所以新解(tb-a,b)比旧解(a,b)小。
（二）同理如果a<b,则新解(a,ta-b)比旧解(a,b)小。

只要a≠b，就根据上面两种情况用更小的新解代替旧解。由于a和b是正整数，存在最小值，所以不会出现无限迭代的情况，最终a=b.
此时为使(xx+yy+1)/(xy)等于整数，则a=b=1.
所以t=3

追问

非常感谢！！！