Question

求极限。顺便问一下等价无穷小在什么情况才能用。 下面两题可以用吗

Answer 1

等价无穷小使用条件有以下两个要求。
1、必须是无穷小，如果不是无穷小，就不能使用。
2、必须是乘除法中使用。加减法中不能用。
图片上的两个题目
1、当x→∞的时候，arctanx不是无穷小，当x→+∞的时候，arctanx→π/2
当x→-∞的时候，arctanx→-π/2，所以当x→∞的时候，arctanx没有极限，不是无穷小，当然不能使用等价无穷小，都不是无穷小了，还怎么使用等价无穷小？名称上看就知道不应该啦。
这个题目这样做，
当x→∞ 时候，1/x²是无穷小，而arctanx是有界函数。所以arctanx/x²是无穷小乘有界函数，还是无穷小，所以当x→∞的时候，arctanx/x²的极限是0
2、当x→1的时候，sin²（x-1）是无穷小，可以等价替换，替换成（x-1）²
所以这个极限就等于lim（x→1）（x-1）²/（x²-1）
=lim（x→1）（x-1）²/（x-1）（x+1） （分母因式分解）
=lim（x→1）（x-1）/（x+1） （分子分母同时除以x-1，约分）
=0/2
=0