Question

平面内n条直线最多能将平面分成多少个部分

Answer 1

当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。1、这n个平面两两相交；2、没有三个以上的平面交于一点；3、这n个平面的交线任两条都不平行。对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n个平面分空间的部分数为an，易知当n=1时，an=2；当n=2时，an=4当n=3时，an=8当n=4时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知an=15；从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n条直线最多可将平面分割成bn个部分，那么当n=1,2,3时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。当n=k时，设k条直线将平面分成了bk个部分，接着当添加上第k+1条直线时，这条直线与前k条直线相交有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分割成k段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了K+1个区域，故得递推关系式b(k+1)=b(k)+(k+1)，即b(k+1)-b(k)=k+1显然当k=1时,b(1)=2,当k=1,2,3..n-1时，我们得到个式子：b(2)-b(1)=2;b(3)-b(2)=3;b(4)-b(3)=4;b(5)-b(4)=5;……b(n)-b(n-1)=n;将这n-1个式子相加，得b(n)=1/2*(n^2+n+2)，即n条直线最多可将平面分割成1/2*(n^2+n+2)个部分。我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定b(k)与b(k+1)的递推关系，最后得出结论。现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k个平面将空间分割成a(k)个部分，再添加上第k+1个平面，这个平面与前k个平面相交有k条交线，这k条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成b(k)个部分。而这b(k)个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了b(k)个部分。由此的递推关系式a(k+1)=a(k)+b(k)，即a(k-1)-a(k)=b(k)当k=1,2,3..n-1时，我们得到如下n-1个关系式a(2)-a(1)=b(1);a(3)-a(2)=b(2);……a(n)-a(n-1)=b(n-1);将这n-1个式子相加，得a(n)=a(1)+(b(1)+b(2)+b(3)+.+b(n-1))因为b(n)=1/2*(n^2+n+2),a(1)=2所以a(n)=2+{1/2*(1^2+1+2)+(2^2+2+2)+(3^2+3+2)+..+((n-1^2)+(n-1)+2)}=(n^3+5*n+6)/6问题的解：由上述分析和推导可知，n个平面最多可将平面分割成=(n^3+5*n+6)/6个部分。

Answer 2

若n大于等于3最多有 : （n×n－3n+2）/2+2n个部分，若n小于等于2最多有:2n个部分，当n等于3时，图形中间就会出现封闭图形，分别为：n＝3：1个，n＝4：3个，n＝5：6个……规律是：[1+（n－2）]/2，化简为（n×n－3n+2)/2，而外部为：n＝1：2个，n＝2：4个，n＝3：6个，n＝4：8个，n＝5：10个……规律是：2n，所以合并在一起为：2n+（n×n－3n+2）/2

Answer 3

n+1个