Question

三次根号下(2+根号5)+三次根号下(2-根号5)

Answer 1

令这个式子=x
对这个式子立方得到

2+根号5+2-根号5
+3* 三次根号[(2+根号5)^2 (2-根号5)]+3* 三次根号[(2+根号5)(2-根号5)^2]
显然(2+根号5)(2-根号5)=4-5= -1
于是得到4-3*三次根号(2+根号5)-3 *三次根号(2-根号5)=x^3
即4-3x=x^3，分解得到(x-1)(x^2+x+4)=0
而x^2+x+4恒大于0
所以解得原式=1

Answer 2

设a=三次根号下(2+根号5)，b=三次根号下(2-根号5)
则显然ab=-1，a^3+b^3=4
设a+b=x.则上式推出x(x^2-3ab)=4.即x^3+3x-4=0
分解因式得(x-1)(x^2+x+4)=0
而x^2+x+4=0无实根。所以x=1