Question

第十八题高数填空题求解

Answer 1

区域内的点都是满足 x+y ≤ e 的，因此 ln(x+y) ≤ 1，
这样就得 [ln(x+y)] ^ 2 ≥ [ln(x+y)] ^ 3 ，
考虑到不可能总是取等号，因此左边大于右边 。填： >

追问

为什么不能取等号

追答

只有那条直线上的点才有 x+y = e ，其余点都是 x+y < e 的 。

追问

也可以取等于e吗

追答

可以是可以，只是部分而不是全部，所以最后的积分是左边大于右边 。

追问

只是部分不是全部是什么意思呢

Answer 2

将区域D分为D1={（x,y)| 1<x+y<e }和 D2={（x,y)| 0<x+y<1 }两部分
在D1内，0<ln(x+y)<1, 因此[ln(x+y)]²>[ln(x+y)]³,
在D1上的积分也保持不等号方向
在D2内，ln(x+y)<0, 因此[ln(x+y)]²>0>[ln(x+y)]³,
在D2上的积分也保持不等号方向
综上,∬[ln(x+y)]²dxdy>∬[ln(x+y)]³dxdy

追问

为什么区间分为两部分