怎么求e^(x^2-x)的不定积分
这个积分要化为二重积分才能做
就是先算[∫e^(x²)dx]^2
∫∫e^x²e^y²dxdy
=∫∫e^(x²+y²)dxdy再运用极坐标变换r^2=x^2+y^2
dxdy=rdrdθ∫∫e^(x²+y²)dxdy=∫∫e^r^2*rdrdθ (注意到θ∈[0,2π])
=1/2e^r^2*2π=πe^r^2+C
所以∫e^x²dx=√(πe^r^2+C)
连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
扩展资料:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
设函数和u,v具有连续导数,则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu
两边积分,得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。如果积分∫vdu易于求出,则左端积分式随之得到。
有理函数分为整式(即多项式)和分式(即两个多项式的商),分式分为真分式和假分式,而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和,可见问题转化为计算真分式的积分。
这个积分要化为二重积分才能做
就是先算[∫e^(x²)dx]^2
∫∫e^x²e^y²dxdy
=∫∫e^(x²+y²)dxdy再运用极坐标变换r^2=x^2+y^2
dxdy=rdrdθ∫∫e^(x²+y²)dxdy=∫∫e^r^2*rdrdθ (注意到θ∈[0,2π])
=1/2e^r^2*2π=πe^r^2+C
所以∫e^x²dx=√(πe^r^2+C)
连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
扩展资料:
如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的实函数f(x)。
若f(x)在[a,b]上恒为正,可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上,由曲线(x,f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积,并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零,那么它的勒贝格积分也大于等于零。
参考资料来源:百度百科——不定积分
结果为:√π
解题过程如下:
原式=∫e^(-x^2)dx
=∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy
=∫∫e^(-r^2) rdrdα
=(∫e^(-r^2) rdr)*(∫dα)
=π*∫e^(-r^2) dr^2
=π*(1-e^(-r^2) |r->+∝
=π
∵ ∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy
=(∫e^(-x^2)dx)*(∫e^(-y^2)dy)
=(∫e^(-x^2)dx)^2
∴∫e^(-x^2)dx=√π
扩展资料
求函数积分的方法:
设f(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作,即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
若f(x)在[a,b]上恒为正,可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上,由曲线(x,f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质,改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数,改变有限个点的取值,其积分不变。
对于勒贝格可积的函数,某个测度为0的集合上的函数值改变,不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同,那么它们的积分相同。
如果对F中任意元素A,可积函数f在A上的积分总等于(大于等于)可积函数g在A上的积分,那么f几乎处处等于(大于等于)g。
∫e^(-1/x^2) dx = x e^(-1/x^2) + √π ×(√Log(e)) × erf ((√Log(e)) / x)
其中 erf 是误差函数(也称之为高斯误差函数),是一个非基本函数(即不是初等函数),其在概率论、统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用,你可以把 erf 看作和exp、sin等函数一样,对于给定的 x 都是可计算的,有明确的函数值.
erf(x) = (2/√π)∫(e^(-t^2) dt (积分区间从 t = 0 到 t = x)
顺便指出,有一步错了,故答案也错了:
∫x[e^(-1/x²)]*[(-1)*(-2)*(1/x³)]dx ≠ 2∫[e^(1/x²)]dx
直接用2次分部积分法吧
先当做e^(x^2)*1分部积分一次,搞成x*e^(x^2)-∫xde^(x^2)
然后把∫xde^(x^2)再分部积分一次,xe^(x^2)-∫e^(x^2)dx²
自己算最后结果吧
追加分数!