Question

正则化方法在哪些方面有研究

Answer 1

　正则化(regularization)，是指在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。大条件数意味着舍入误差或其它误差会严重地影响问题的结果。
　　求解不适定问题的普遍方法是:用一组与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov 正则化、各种迭代方法以及其它的一些改进方法,这些方法都是求解不适定问题的有效方法,在各类反问题的研究中被广泛采用,并得到深入研究。
　　正则化:Normalization，代数几何中的一个概念。
　　通俗来说
　　就是给平面不可约代数曲线以某种形式的全纯参数表示。
　　即对于PC^2中的不可约代数曲线C，寻找一个紧Riemann面C*和一个全纯映射σ:C*→PC^2,使得σ(C*)=C
　　严格的定义如下
　　设C是不可约平面代数曲线，S是C的奇点的集合。如果存在紧Riemann面C*及全纯映射σ:C*→PC^2,使得
　　(1) σ(C*)=C (2) σ^(-1)(S)是有限点集 (3) σ:C*\σ^(-1)(S)→C\S是一对一的映射
　　则称(C*,σ)为C的正则化。不至于混淆的时候，也可以称C*为C的正则化。
　　正则化的做法，实际上是在不可约平面代数曲线的奇点处，把具有不同切线的曲线分支分开，从而消除这种奇异性。

　　主要解决的问题
　　1.正则化就是对最小化经验误差函数上加约束，这样的约束可以解释为先验知识(正则化参数等价于对参数引入先验分布)。约束有引导作用，在优化误差函数的时候倾向于选择满足约束的梯度减少的方向，使最终的解倾向于符合先验知识(如一般的l-norm先验，表示原问题更可能是比较简单的，这样的优化倾向于产生参数值量级小的解，一般对应于稀疏参数的平滑解)。
　　2.同时，正则化解决了逆问题的不适定性，产生的解是存在，唯一同时也依赖于数据的，噪声对不适定的影响就弱，解就不会过拟合，而且如果先验(正则化)合适，则解就倾向于是符合真解(更不会过拟合了)，即使训练集中彼此间不相关的样本数很少。