Question

求助初三数学第26题

Answer 1

26.
y=x2+px+q.(p<0)
C(0,-1)所以知道△ABC的AB边高为1，面积=AB*1/2=5/4得
AB=5/2
设A(m,0),B(n,0),n>m有
m-n=5/2①
再代入C点得-1=q
根据m,n为y=0的两根得m-n=2√△/2a=2√p2-4q/2=√p2+4=5/2
得p2+4=25/4
p2=9/4
p=±3/2,∵p<0舍去正值
p=-3/2
所以y=x2-3x/2-1

2.
设过(0,m)的直线为y=m,它与外接圆有交点，说明它与圆的方程有根。我们需要求外接圆方程。
令y=x2-3x/2-1=0得x=3/2±√25/4 /2=3/4±5/4=2 or -1/2
所以A(-1/2,0)B(2,0)C(0,-1)
所以AC=√1+1/4=√5/4 BC=√4+1=√5
AB=5/2
得AB2=25/4=5/4+5=AC2+BC2
∴它是以∠ACB为直角的RT△，圆心在AB中点上。半径为AB/2=5/4，圆心为(2-5/4,0)=(3/4,0)
所以要使直线与圆有交点需要让|m|≤5/4,即得 -5/4≤m≤5/4

3.
上面已经证明∠ACB为直角，现在过A或者B作BC或者AC的平行线，如果有交点，就求出D点了。
现在分这两种情况讨论求值。
A.
过A作BC平行线，因为BC斜率为-1/-2=1/2,所以直线为y=(x+1/2)/2①
把①代入抛物线方程得
x2-3x/2-1=x/2+1/4
x2-2x-5/4=0
x=2±√4+5/2=1±3/2=5/2 or -1/2 （这是A的坐标）
点D坐标为(5/2,3/2)
验证得ABCD为RT梯形。
B.
过B作AC平行线，因为AC斜率为-1/(1/2)=-1/2,所以直线为y=-(x+1/2)/2②
②代入抛物线方程得
x2-3x/2-1=-x/2-1/4
x2-x-3/4=0
x=1±√1+3 /2=1/2 ±1 = 3/2 or -1/2(这是A的坐标)
点D坐标为(3/2,-1)
但是这个ABCD不是以ACB为直角的RT梯形。所以舍去。
上面A的结果是最终结果。

本题目很好，不算难，但有趣。