Question

高数 第三大题的第二小问 幂级数 谢谢～

Answer 1

令an=(-1)^(n-1) n²
an+1=(-1)^n (n+1)²
则比值法
lim n→∞ |an+1/an| |x|
=lim |x| n²/(n+1)²
=|x|＜1
收敛区间为(-1，1)
设S(x)=∑ (-1)^(n-1) n²x^(n-1)
先逐项积分
∫S(x)dx=∑ (-1)^(n-1) nx^n
令F(x)=∑ (-1)^(n-1) nx^n
两边同时除x得
F(x)/x=∑ (-1)^(n-1) nx^(n-1)
令G(x)=∑ (-1)^(n-1) nx^(n-1)
再逐项积分
∫G(x)dx=∑ (-1)^(n-1) x^n
=x-x²+x³+……
=x/(1+x)
则G(x)=[x/(1+x)]'=(1+x-x)/(1+x)²=1/(1+x)²
F(x)=xG(x)=x/(1+x)²
S(x)=[x/(1+x)²]'
=(x²+2x+1-2x-2x²)/(1+x)^4
=(1-x²)/(1+x)^4
=(1-x)/(1+x)³

追问

这解法也太残暴了吧。谢谢啦～懂了