Question

微分方程求特解或通解 求过程qwq

Answer 1

(1)。y'=(x-y)/x
解：xy'+y=x；先求齐次方程xy'+y=0的通解：
分离变量得：dy/y=-dx/x；积分之得：lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x);
故齐次方程的通解为y=c₁/x；将c₁换成x的函数u，得y=u/x.............①
对①的两边取导数得：y'=(xu'-u)/x²............②
将①②代入原式得：(xu'-u)/x²=[x-(u/x)]/x；化简得u'/x=1，即u'=x；
du=xdx，故u=(1/2)x²+c；代入①时即得原方程的通解为：y=(1/2)x+c/x.
(2). 3xy²dy=(2y³-x³)dx
解：两边同除以x³得 3(y/x)²dy=[2(y/x)³-1]dx..............①；
令y/x=u，则y=ux..........②；dy=xdu+udx............③;
将②③代入①式得：3u²(xdu+udx)=(2u³-1)dx；
化简得：3u²xdu=-(u³+1)dx；分离变量得：[3u²/(u³+1)du=-dx/x;
积分之得：∫[3u²/(u³+1)du=∫d(u³+1)/(u³+1)=ln(u³+1)=-lnx+lnc=ln(c/x)
故u³+1=c/x；即u³=(c-x)/x；u=[(c-x)/x]^(1/3)；代入②式即得原方程的通解：
y=x[(c-x)/x]^(1/3)=[x²(c-x)]^(1/3)

Answer 2

解:微分方程为y'=(x-y)/x，化为xy'=x-y，xy'+y=x，(xy)'=x，xy=0.5x²+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=0.5x+c/x
解:微分方程为3xy²dy=(2y³-x³)dx，化为3xy²dy/dx-2y³=-x³，xdy³/dx-2y³=-x³，
1/x²×dy³/dx-2y³/x³=-1，d(y³/x²)=-1，y³/x²=-x+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y³=-x³+cx²
解:微分方程为xy'=y+xe^(y/x)，化为y'/x-y/x²=1/x×e^(y/x)，x(y/x)'=e^(y/x)，设y=ux，微分方程化为xu'=eᵘ，du/eᵘ=dx/x，-1/eᵘ=ln|x|-ln|c|(c为任意非零常数)，微分方程的通解为1=ln(c/x)×e^(y/x)
解:微分方程为(y²-3x²)dy-2xydx=0，化为y²-3x²-2yxdx/dy=0，y²-ydx²/dy=3x²，3x²+ydx²/dy=-y²，y³dx²/dy+3y²x²=-y⁴，d(y³x²)/dy=-y⁴，y³x²=-y⁵/5+c(c为任意常数)，微分方程的通解为x²=-y²/5+c/y³