微分方程求特解或通解 求过程qwq

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wjl371116
2017-04-12 · 知道合伙人教育行家
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知道合伙人教育行家
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(1)。y'=(x-y)/x
解:xy'+y=x;先求齐次方程xy'+y=0的通解:
分离变量得:dy/y=-dx/x;积分之得:lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x);
故齐次方程的通解为y=c₁/x;将c₁换成x的函数u,得y=u/x.............①
对①的两边取导数得:y'=(xu'-u)/x²............②
将①②代入原式得:(xu'-u)/x²=[x-(u/x)]/x;化简得u'/x=1,即u'=x;
du=xdx,故u=(1/2)x²+c;代入①时即得原方程的通解为:y=(1/2)x+c/x.
(2). 3xy²dy=(2y³-x³)dx
解:两边同除以x³得 3(y/x)²dy=[2(y/x)³-1]dx..............①;
令y/x=u,则y=ux..........②;dy=xdu+udx............③;
将②③代入①式得:3u²(xdu+udx)=(2u³-1)dx;
化简得:3u²xdu=-(u³+1)dx;分离变量得:[3u²/(u³+1)du=-dx/x;
积分之得:∫[3u²/(u³+1)du=∫d(u³+1)/(u³+1)=ln(u³+1)=-lnx+lnc=ln(c/x)
故u³+1=c/x;即u³=(c-x)/x;u=[(c-x)/x]^(1/3);代入②式即得原方程的通解:
y=x[(c-x)/x]^(1/3)=[x²(c-x)]^(1/3)
系科仪器
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十全进士
2023-11-26 · 超过277用户采纳过TA的回答
知道小有建树答主
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解:微分方程为y'=(x-y)/x,化为xy'=x-y,xy'+y=x,(xy)'=x,xy=0.5x²+c(c为任意常数),微分方程的通解为y=0.5x+c/x
解:微分方程为3xy²dy=(2y³-x³)dx,化为3xy²dy/dx-2y³=-x³,xdy³/dx-2y³=-x³,
1/x²×dy³/dx-2y³/x³=-1,d(y³/x²)=-1,y³/x²=-x+c(c为任意常数),微分方程的通解为y³=-x³+cx²
解:微分方程为xy'=y+xe^(y/x),化为y'/x-y/x²=1/x×e^(y/x),x(y/x)'=e^(y/x),设y=ux,微分方程化为xu'=eᵘ,du/eᵘ=dx/x,-1/eᵘ=ln|x|-ln|c|(c为任意非零常数),微分方程的通解为1=ln(c/x)×e^(y/x)
解:微分方程为(y²-3x²)dy-2xydx=0,化为y²-3x²-2yxdx/dy=0,y²-ydx²/dy=3x²,3x²+ydx²/dy=-y²,y³dx²/dy+3y²x²=-y⁴,d(y³x²)/dy=-y⁴,y³x²=-y⁵/5+c(c为任意常数),微分方程的通解为x²=-y²/5+c/y³
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