求11题的详细解法
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∑是柱面x^2+y^2=1被平面z=0和z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧,
图就是圆柱在x≥0, y≥0, 0≤z≤3 的四分之一圆柱部分, 则
∫∫<∑> zdxdy+xdydz+ydzdx
=∫∫<Dyz> xdydz+∫∫<Dxz>ydzdx
=∫<0,3>dz∫<0,1>√(1-y^2)dy+∫<0,3>dz∫<0,1>√(1-x^2)dx
=2∫<0,3>dz∫<0,1>√(1-u^2)du (令u=sint)
=6∫<0,π/2>(cost)^2dt
=3∫<0,π/2>(1+cos2t)dt
=3[t+(sin2t)/2]<0,π/2>=3π/2.
图就是圆柱在x≥0, y≥0, 0≤z≤3 的四分之一圆柱部分, 则
∫∫<∑> zdxdy+xdydz+ydzdx
=∫∫<Dyz> xdydz+∫∫<Dxz>ydzdx
=∫<0,3>dz∫<0,1>√(1-y^2)dy+∫<0,3>dz∫<0,1>√(1-x^2)dx
=2∫<0,3>dz∫<0,1>√(1-u^2)du (令u=sint)
=6∫<0,π/2>(cost)^2dt
=3∫<0,π/2>(1+cos2t)dt
=3[t+(sin2t)/2]<0,π/2>=3π/2.
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