21题解答过程
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21.(1)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,
∴(a^2-b^2)/a^2=1/4,4a^2-4b^2=a^2,a^2=4b^2/3,
它过点(2√2，-√3),
∴9/b^2=1,b^2=9,a^2=12,
∴椭圆方程为x^2/12+y^2/9=1.
(2)设A(2√2cosu,3sinu),B(2√2cosv,3sinv),u-v≠2kπ，k∈Z,则
A1(8，3sinu),B1(8,3sinv),已知D(3，0),
由S△A1B1D=5S△ABC得3(sinu-sinv)=9(sinu-sinv)+6√2sin(v-u),
∴sinu-sinv=√2sin(u-v),
∴S△ABC=(3√2/2)sin(u-v)的绝对值,其最大值是3√2/2.
∴(a^2-b^2)/a^2=1/4,4a^2-4b^2=a^2,a^2=4b^2/3,
它过点(2√2，-√3),
∴9/b^2=1,b^2=9,a^2=12,
∴椭圆方程为x^2/12+y^2/9=1.
(2)设A(2√2cosu,3sinu),B(2√2cosv,3sinv),u-v≠2kπ，k∈Z,则
A1(8，3sinu),B1(8,3sinv),已知D(3，0),
由S△A1B1D=5S△ABC得3(sinu-sinv)=9(sinu-sinv)+6√2sin(v-u),
∴sinu-sinv=√2sin(u-v),
∴S△ABC=(3√2/2)sin(u-v)的绝对值,其最大值是3√2/2.
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