高等数学，无穷小的比较
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求极限
lim [e^√(1+3x²)-e]/x^n
可以用直接洛必达法则，这里我先用等价无穷小
分子提出一个e
=lim e{e^[√(1+3x²)-1] -1}/x^n
因为e^x-1~x
所以e^[√(1+3x²)-1] -1~[√(1+3x²)-1]
原式
=e[√(1+3x²)-1]/x^n
再用等价无穷小
因为√(1+x)-1~x/2
所以√(1+3x²)-1~3x²/2
原式
=(3/2)ex²/x^n
因为是同阶无穷小，
所以极限存在，且不为0和1
即n=2
两者极限=3e/2
lim [e^√(1+3x²)-e]/x^n
可以用直接洛必达法则，这里我先用等价无穷小
分子提出一个e
=lim e{e^[√(1+3x²)-1] -1}/x^n
因为e^x-1~x
所以e^[√(1+3x²)-1] -1~[√(1+3x²)-1]
原式
=e[√(1+3x²)-1]/x^n
再用等价无穷小
因为√(1+x)-1~x/2
所以√(1+3x²)-1~3x²/2
原式
=(3/2)ex²/x^n
因为是同阶无穷小，
所以极限存在，且不为0和1
即n=2
两者极限=3e/2
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