Question

矩阵A,B如何证明A+B的秩小于等于A的秩？

以及，A:mXn, B:nXn, 当B的秩等于n时，如何证明A+B的秩等于A的秩？
江湖救急...
以及，我们书上没有这个证明TAT
是AB的秩...昨天晚上有点不是很清醒，我看错题目了QAQ

Answer 1

解题过程如下图：

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

扩展资料

变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

Answer 2

不知题主的题干是不是有问题哈，矩阵加法只有在同型矩阵的情况下才能进行，而A:mXn, B:nXn,两个矩阵显然不同型，故无法相加。

线性代数有这个结论：秩(AB) ≤ min(秩(A)，秩(B)) 。证明见下图：

扩展资料：

方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)。

m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

1、定理 矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

2、定理 初等变换不改变矩阵的秩。

3、定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

Answer 3

你这结论根本不成立 。比如 A = 0 ，B 满秩 ，A+B = B 仍灌秩 。
应该是 秩(AB) ≤ min(秩(A)，秩(B)) 。书上都有证明 。

追问

是AB的秩...昨天晚上有点不是很清醒，我看错题目了。真的不好意思。

当A是任意mXn矩阵，B是nXn方阵时，怎么证明：
请问秩（AB）小于等于秩（A）
以及当B的秩等于n的时候，秩（AB）=秩（A）
我找了一下，我们书上好像没有讲这个证明。
谢谢！！！！