Question

求解积分

Answer 1

记得上大学时是利用重积分证明的：
解：设I=∫(0,+∞)e^(-x²)dx=∫(0,+∞)e^(-y²)dy
则有
I²=∫(0,+∞)e^(-x²)dx*∫(0,+∞)e^(-y²)dy
=∫(0,+∞)[∫(0,+∞)e^(-x²)*e^(-y²)dx]dy
=∫(0,+∞) ∫(0,+∞)e^[-(x²+y²)]dxdy
=∫∫D e^[-(x²+y²)]dxdy 其中区域D：在第一象限上的所有点(x,y)组成的平面区域
下面采用极坐标进行二重积分：
I²=∫∫D e^[-(x²+y²)]dxdy
=∫(0,π/2) [∫(0,+∞)e^(-r²)*rdr]dθ
=∫(0,π/2) [-1/2*e^(-r²)]|(0,+∞)dθ
=∫(0,π/2) 1/2dθ
=π/4
考虑到I>0，所以有
I=∫(0,+∞)e^(-x²)dx=√π/2
当然也可以利用标准正态分布概率密度函数来推导，也可以得到此结论。