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解:1题,y=x²与x=y²的交点为(0,0)、(1,1)。∴积分区域D={(x,y)丨0≤x≤1,x²≤y≤√x}。
∴原式=∫(0,1)dx∫(x²,√x)(x²+y)dy。而,∫(x²,√x)(x²+y)dy=x^(5/2)+x/2-(3/2)x^4,
∴原式=∫(0,1)[x^(5/2)+x/2-(3/2)x^4]dx=33/140。
2题,y=x与xy=1的交点为(1,1)。∴积分区域D={(x,y)丨1≤x≤2,1/x≤y≤x}。
∴原式=∫(1,2)dx∫(1/x,x)(x²/y²)dy。而,∫(1/x,x)(x²/y²)dy=x³-x,
∴原式=∫(1,2)(x³-x)dx=9/4。
3题,AB的直线方程为y=-x+3,OA的直线方程为y=2x,OB的直线方程为y=x/2。∴积分区域D={(x,y)丨0≤x≤1,x/2≤y≤2x}∪{(x,y)丨1≤x≤2,x/2≤y≤3-x}。
∴原式=∫(0,1)xdx∫(x/2,2x)dy+∫(1,2)xdx∫(x/2,3-x)dy=(3/2)∫(0,1)x²dx+3∫(1,2)x(1-x/2)dx=3/2。
供参考。
∴原式=∫(0,1)dx∫(x²,√x)(x²+y)dy。而,∫(x²,√x)(x²+y)dy=x^(5/2)+x/2-(3/2)x^4,
∴原式=∫(0,1)[x^(5/2)+x/2-(3/2)x^4]dx=33/140。
2题,y=x与xy=1的交点为(1,1)。∴积分区域D={(x,y)丨1≤x≤2,1/x≤y≤x}。
∴原式=∫(1,2)dx∫(1/x,x)(x²/y²)dy。而,∫(1/x,x)(x²/y²)dy=x³-x,
∴原式=∫(1,2)(x³-x)dx=9/4。
3题,AB的直线方程为y=-x+3,OA的直线方程为y=2x,OB的直线方程为y=x/2。∴积分区域D={(x,y)丨0≤x≤1,x/2≤y≤2x}∪{(x,y)丨1≤x≤2,x/2≤y≤3-x}。
∴原式=∫(0,1)xdx∫(x/2,2x)dy+∫(1,2)xdx∫(x/2,3-x)dy=(3/2)∫(0,1)x²dx+3∫(1,2)x(1-x/2)dx=3/2。
供参考。
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