Question

求大佬帮忙解答一下大一高数题，关于微积分。

求大佬帮忙解答一下大一高数题，关于微积分。一共三道，感激不尽！

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Answer 1

解：1题，y=x²与x=y²的交点为(0,0)、(1,1)。∴积分区域D={(x,y)丨0≤x≤1，x²≤y≤√x}。
∴原式=∫(0,1)dx∫(x²,√x)(x²+y)dy。而，∫(x²,√x)(x²+y)dy=x^(5/2)+x/2-(3/2)x^4，
∴原式=∫(0,1)[x^(5/2)+x/2-(3/2)x^4]dx=33/140。
2题，y=x与xy=1的交点为(1,1)。∴积分区域D={(x,y)丨1≤x≤2，1/x≤y≤x}。
∴原式=∫(1,2)dx∫(1/x,x)(x²/y²)dy。而，∫(1/x,x)(x²/y²)dy=x³-x，
∴原式=∫(1,2)(x³-x)dx=9/4。
3题，AB的直线方程为y=-x+3，OA的直线方程为y=2x，OB的直线方程为y=x/2。∴积分区域D={(x,y)丨0≤x≤1，x/2≤y≤2x}∪{(x,y)丨1≤x≤2，x/2≤y≤3-x}。
∴原式=∫(0,1)xdx∫(x/2,2x)dy+∫(1,2)xdx∫(x/2,3-x)dy=(3/2)∫(0,1)x²dx+3∫(1,2)x(1-x/2)dx=3/2。
供参考。