Question

什么时候用柯西中值定理证明不等式

什么时候用柯西中值定理证明不等式高数

Answer 1

虽然说Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，可是你观察它们的最常见证明方法可以发现，它们都可以通过Rolle定理独立证明，不过是构造的辅助函数不同而已。而事实上，用Lagrange中值定理显然可以推出Rolle定理。可以归结出这样的推导关系：Rolle定理→Cauchy中值定理（Lagrange中值定理）→Lagrange中值定理→Rolle定理。因此它们在逻辑上是等价的，不过用于解决问题时的简繁程度不同。你要相信，所有用Cauchy中值定理可以解决的问题，用Rolle定理也可以解决，不过思路可能复杂一些。
如，设b＞a＞0，f(x)在[a,b]连续、(a,b)可导，证明有c∈(a,b)，使得2c[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(c)。
证：参考Cauchy中值定理的标准形式，令g(x)=x^2即可。注意这里b＞a＞0保证了g’(x)＝2x≠0以及b^2-a^2≠0。